ご参考までに意見を言わせてもらいますね。

まず、その便利屋さんからは音信不通状態になったのはあなた側をただのクレーマーとして見ているようですね。

いくつかお聞きしたいのですが、クリーニングする前の約束事（例えば清掃後の保障期間、清掃が原因とする故障の保証など）を確認し納得された上での清掃でしょうか？
通常は、確認し納得した上での清掃してもらい清掃後の動作の確認をして問題なければそこで終了となります。
　
投稿内容だけ捉えると、業者側と約束事を交わさずに清掃し簡易動作だけで終わっているようですね。
作業する前での注意点を業者が説明しなかった？のは業者側のケアレスミスかもしれませんが、
お互い納得した上での作業完了し、しかも作動確認した後なのだから後からうんぬんしかも１月過ぎてから言われても。。が業者側の意見と推測いたします。
基盤の故障が明らかにクリーニングの影響と調査するには設置してもらったプロの電気屋さんでもわからなかった位なのでメーカーの人が調査しに来ても判断はおそらく難しく出張費だけが無駄になりそうです。
それでも、業者に掃除が原因だから弁償しろと言ってもかなり厳しいかと思います。

訴訟という手もありますが現実的に意味はないと考えます。
証拠を見つけるにあたりエアコンの分解調査費用。
弁護士または司法書士にかかる費用。
裁判の日数。
など費用と日数がかかりすぎますし、壊れたからと言って事実上の被害もないようですし、家電はいつ壊れるかわからない品なので…との理由から経験上ほほ断られると思います。

修理するよりも新しく買い直した方がはるかに安価だと思います。

最後に

このサイトに登録している便利屋さんはきちんとアフターサービスする店舗もいれば、非常に適当な店舗も存在しています。
見極めるのは１００％無理だとしても１００％近く見極める事は出来ると思います。
この失敗を糧にして、次回からはご自身でも依頼前にチェックしてくださいね。

ちゃんとした回答でなく申し訳ありませんが、今後の参考になると幸いです。

はじめまして、助っ人本舗よろずやの生島と申します。
今回の件はメーカーなどによる確実な証拠か保証を約束した書類がないと難しいかとおもいます。
当店はエアコン洗浄は行っていませんが、取り付けは行っております。
取り付けたエアコンに不具合が出た場合はおうかがいし、こちらの判断で不備が認められた場合は保証します。こちらの不備出はないと判断した場合はメーカーに来てもらい、判断をあおぎます。
当店はグレーな場合でも可能な限り対応いたしますが、お店によっては対応してもらえないことも多いと思います。
今回の業者が本当にミスを犯したかどうかはわかりませんが、作業終了の時点での確認が終わってしまったら、証拠がないかぎり保証は業者のサービスになります。状況証拠だけで保証をしていると、極端に言えば劣化による故障でも対応しなければならなくなるからです。
メーカー等が原因を断定してくれない限りは諦めるしかないのではないでしょうか。
特にメールであれ電話であれキチンとした対応方法(保証出来ないことも含みます。)を提示せずに連絡してこない業者は便利屋だからではなくお店として問題があるので到底保証してくれないでしょう。
自分の店のミスだと認めて保証するような所ならば、写真などで証拠を残し、修理完了の書類を残して置けば払ってくれると思いますので、まずは修理をする事をおすすめします。

修理代は、便利屋に請求した方が良いです。