チェストとは引き出しが何段も重なった整理ダンスのことですよね、
多分木製（合板含む）ですね。
取手は引き出しを出すときの持ち手で、ねじは引き出しの裏側についているのですね？

プラスドライバーをあてることができるなら、当てて左方向（ネジの頭を正面から見て時計回りの反対方向）
へ力を入れながら、ドライバーのお尻をハンマーなどでコンコン叩くとゆっくりですがたいてい回せます。

これがダメならねじ外し専用ペンチの　ネジザウルス　と言う物が有ります。
https://www.youtube.com/watch?v=W0l80L39Q3Y
2000円前後でどこのホームセンターでも売っていますので店員に相談するといいでしょう。
ねじの頭の外周部分が木材に食い込んでいたらこの道具は使えません（つかめない）

あとはねじの頭をドリルで削り取る手法ですが引き出しの内側に充分な空間が無いとドリルが入りません。
大きなホームセンターで短いドリル刃を買い、ドリル本体はレンタルされるといいですが、引き出しの内側寸法を測ってからホームセンターでご相談ください。
この方法で成功するとねじの頭は破壊され、オスねじ部分が取っ手の中にねじ込まれたままで外れますので
取手も使用不能になります。取手だけ別の物に付け替えるために現況の問題になってしまったのなら
構わないでしょうけれど、、、、

ねじの頭が引き出しの外にあるなら、引き出し内側寸法とドリル寸法の問題はありません、

ちょっと高いけどこちらもいいかも、電動ドライバーはホームセンターでレンタルしてください。
https://www.youtube.com/watch?v=SVMDB3fOGQM

はじめまして、便利屋はなまると申します‼️
ネジを外すのはできますがネジは使えなくなります‼️
遠いですけど‼️
便利屋はなまる
藤田
ラインzeal168
golden.sunset.0077@gmail.com
080-6335-4559